Dopo avere preso le misure in grotta ci troviamo con un pacco di foglietti (in genere sudici) pieni di numeri. Dobbiamo trasformare questi dati in modo da potere disegnare la forma della grotta.
Innanzitutto bisogna decidere come desideriamo rappresentare la cavità. La grotta é tridimensionale, ma noi vorremmo fare stare la nostra rappresentazione su un foglio di carta, riducendo le lunghezze ed eliminando la terza dimensione. Per fare questo siamo costretti a fare una proiezione od uno sviluppo. In genere si usa fare la proiezione in pianta della grotta, mentre il profilo longitudinale é uno sviluppo. Cosa significa? Che nel primo caso abbiamo proiettato la grotta su un piano (foglio di carta) come se fosse un'ombra, nel secondo caso l'abbiamo srotolata (sviluppo) su un foglio per farla diventare piatta. La conseguenza importante di queste due tecniche é che la proiezione non conserva le distanze, mentre lo sviluppo lo fa.
Il problema della riduzione della grotta in scala é tutto sommato quello meno importante. Vogliamo che la nostra rappresentazione sia ben leggibile e quindi sceglieremo una scala tale da consentire il dettaglio richiesto. Una cavità lunga una decina di metri può essere rappresentata su un foglio "normale" (A4: 210x297 mm) in scala 1:500. Questo significa che 1 cm sul nostro foglio equivale a 500 cm = 5 m nella realtà. E' una scala di buon dettaglio. Se vogliamo fare stare una cavità di chilometri su un foglio A4 saremo costretti ad adottare scale come 1:5000 o più larghe ancora. In genere le cavità grandi vengono disegnate su fogli molto grandi in modo da potere conservare un certo dettaglio.
Trasformare le misure é facile: gli angoli restano sempre gli stessi, le lunghezze devono essere divise per il fattore di scala. Quindi, in scala 1:1000 tutte le lunghezze devono essere divise per 1000.
Iniziamo dalla cosa meno intuitiva, la proiezione planimetrica (o "pianta") della grotta. Tutte le nostre carte geografiche sono proiezioni della superficie terrestre su un foglio. Per questo motivo ha senso mettere una proiezione planimetrica di grotta su una carta geografica, ma non avrebbe senso mettere uno sviluppo in pianta.
La cosa simpatica é che se la grotta fosse perfettamente orizzontale, proiezione planimetrica e sviluppo in pianta sarebbero coincidenti. Ma nella realtà nessuna grotta sta su una pista di pattinaggio.
La prima cosa da fare é trasformare i dati che abbiamo. Noi disponiamo di coordinate polari relative. Cioè, di ciascun punto sappiamo che si trova ad una distanza d da quello precedente, in direzione a, con inclinazione z. Potremmo trasformare questa cosa in una serie di coordinate polari relative della proiezione, ovvero dire che un punto si trova a distanza d' da quello precedente, in direzione a. Eliminando quel z che su un piano non ci sta. Per quanto legittima questa cosa é scomoda. Preferiamo avere per tutti i punti le coordinate in un sistema cartesiano. Ogni punto avrà una posizione sull'asse x ed una sull'asse y e potrà essere identificato da una coppia di numeri.
Guardiamo il nostro foglio con i suoi assi cartesiani. Il punto di incrocio é il primo punto della poligonale ed avrà coordinate (0;0). Il secondo punto che coordinate avrà? Innanzitutto calcoliamo la distanza fra C00 e C01 in pianta.
Per fare il calcolo basta una semplce formula trigonometrica: d'= d·cos(z). Cioé, la distanza fra C00 e C01 in pianta é pari a quella reale moltiplicata per il coseno dell'inclinazione misurata. Facile, basta avere le tabelle del coseno, o una calcolatrice con questa funzione.
Questo, però non ci basta, perché ora sappiamo che sul nostro foglio il punto C01 si trova a distanza d' dal punto con coordinate (0;0) in direzione a, ma non abbiamo ancora le sue coordinate cartesiane. Dobbiamo fare un altro calcolo. Innanzitutto se a= 0 puntiamo paralleli all'asse delle y, ovvero verso l'alto nella nostra mappa, dove per convenzione sta il nord.
Il nostro punto C01 é posizionato nelle coordinate cartesiane (X01;Y01). Per calcolare queste coordinate abbiamo tutti gli elementi e basta usare le proprietà trigonometriche dei triangoli.
Ora abbiamo un problema: non partiamo più dalle coordinate (0;0) ma bensì da (x01;y01), quelle appena calcolate.
Un modo piuttosto semplice per risolvere il problema é applicare una modifica della formuletta appena presentata, dove le coordinate di un punto Cn vengono calcolate a partire da d'n, an e dalle coordinate del punto precedente, ovvero Cn-1, che chiameremo (Xn-1;Yn-1).
A questo punto siamo in grado di costruire una tabellina in cui ciascun punto Cn ha le sue coordinate (Xn;Yn) e possiamo facilmente piazzare i punti sul foglio. Unendoli fra loro otterremo la proiezione in pianta della poligonale che percorre la nostra grotta.
Questo sarà il primo risultato sulla carta a casa: una linea spezzata, in cui ciascun segmento corrisponde a quelli misurati in grotta, proiettati su un piano in sequenza l'uno dopo l'altro.
Ora dobbiamo "vestire" la poligonale in modo da riprodurre l'aspetto della cavità. Per fare questo ci gioveremo dei dati aggiuntivi raccolti in grotta. Per ogni caposaldo abbiamo misurato la larghezza della cavità ai lati dello stesso, e l'altezza. Abbiamo anche preso degli appunti e fatto schizzi delle sezioni. Sappiamo che una galleria non é mai regolare, ma non possiamo metterci a misurare la grotta centimetro per centimetro. Un rilievo accettabile non é necessariamente perfetto.
Adesso che abbiamo una pianta, per quanto rozza, orientata nello spazio, pensiamo a stendere il profilo longitudinale della grotta.
